3.1.5 Demostraciones a doble columna

La estrategia que más utilizarás para mostrar tu razonamiento deductivo al solucionar problemas consiste es la demostración a doble columna. Utilizas dos columnas, una para las proposiciones y otra para la justificación. En la columna de las proposiciones indicas:

Hechos dados en el problema
Afirmaciones que irás deduciendo
Conclusión a la que quieres llegar

En la columna de la justificación, indicarás la razón de cada afirmación que se haga.

Este procedimiento permite ampliar las propiedades de un campo numérico, por ejemplo, podemos ampliar las propiedades de la igualdad o establecer teoremas al argumentar y aceptar como verdaderas nuevas proposiciones. Una vez aceptada una proposición como verdadera, puedes hacer uso de ella en nuevas demostraciones.

Estamos acostumbrados a decir que un número multiplicado por cero es cero, ésta no es una verdad evidente. Vamos a demostrar el siguiente teorema y aprovechamos para ejemplificar la estrategia de demostrar a doble columna.

Teorema: el producto de cualquier número real y cero es cero:
Si x

x . 0 = 0

En la proposición se establece que x R y por lo tanto se cumplen los postulados y propiedades conocidos.

Entonces:

x = x	Por la propiedad reflexiva: un número es igual a si mismo si a R a = a
x . 0 = x . 0	Por la propiedad multiplicativa de la igualdad. Podemos multiplicar por el mismo factor a ambos lados de la igualdad sin alterar la igualdad. Si a, b, c R y a = b a . c = b . c
x . (0 + 0) = x . 0	Por el elemento identidad para la suma: Si a R a + 0 = a
(x . 0) + (x . 0) = x . 0	Por la propiedad distributiva Si a, b, c R (a + b) . c = a . c + b . c
(x . 0) + (x . 0) – (x . 0) = (x . 0) – (x . 0)	Por la propiedad aditiva de la igualdad, podemos sumar el mismo número en ambos lados de la igualdad sin alterar la igualdad Si a, b, c R y a = b a + . c = b + . c
(x . 0) + 0 = 0	Por el inverso aditivo, Si a R a + (-a) = 0
x . 0 = 0	Por el elemento identidad para la suma Si a R a + 0 = a
x . 0 = 0	Es lo que queríamos demostrar: el producto de un número real por cero es cero

DR© Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Vicerrectoría de Investigación y Desarrollo, Prepanet | México, 2006.