[a + (-a)] = 0

Por el postulado del inverso aditivo

si a R a + (-a) = 0

[a + (-a)] . b = 0 . b

Por la propiedad multiplicativa de la igualdad. Podemos multiplicar el mismo número en ambos lados de la igualdad sin alterar la igualdad.

Si a, b, c R y a = b a . c = b . c

a . b + (-a) . b = 0 . b

Por la propiedad distributiva:

Si a, b, c R (a + b) . c = a . c + b . c

a . b + (-a) . b = 0

Por el teorema de la multiplicación por cero que acabamos de demostrar

Si x R x . 0 = 0

(a . b) + (-a) . b - (a . b) = 0 - (a . b)

Por la propiedad aditiva de la igualdad, podemos sumar el mismo número en ambos lados de la igualdad sin alterar la igualdad

Si a, b, c R y a = b a + . c = b + . c

(a . b) + (-a) . b - (a . b) = - (a . b)

Por el elemento identidad de la suma, Si a R a + 0 = a

(a . b) - (a . b) + (-a) . b = - (a . b)

Por la propiedad conmutativa para la suma

Si a, b R a + b = b + a

0 + (-a) . b = - (a . b)

Por el inverso aditivo para la suma

Si a, b R a + (-a) = 0

(-a) . b = - (a . b)

Por el elemento identidad de la suma, Si a R a + 0 = a

(-a) . b = - (a . b)

Es lo que queríamos demostrar: el producto de dos factores con signos contrarios es negativo:

Si a y b R (-a) . b = -(a . b)