El hombre usaba y sigue usando estos números para contar, por ejemplo caballos, vacas u ovejas. Los caballos, vacas u ovejas podían morir, así que el hombre se enfrentó a la necesidad de restar. La resta de dos números naturales, no siempre resulta en otro número natural.

Observa que 0 y -2 N, surgen entonces dos conjuntos numéricos: el conjunto de enteros no negativos, C (W), que incluye al cero:

y el conjunto de los números enteros, E (Z), que, además del cero, incluye a los números enteros negativos:

Las operación de suma, resta y producto son binarias para el conjunto de los números enteros, pero la división no lo es.

Ejemplo: no pertenece al conjunto E. La operación de división dio lugar al conjunto de los números racionales, D (Q), que es el conjunto de números que pude expresarse como el cociente de dos enteros, con la restricción de que el divisor no sea cero. Resulta difícil definir a los números racionales en el formato enumerativo, pues entre el número 0 y el número 1 hay una cantidad infinita de números racionales : y entre cualquier par de estos números, hay una cantidad infinita de números racionales, es necesario definir al conjunto de números racionales en la forma descriptiva: